\(X_{n}\)小故事
很久很久以前，無聊的古老皮皮隨手畫了一個三角形，並將三個頂點和其對邊的中點連線。
「這三條線段交在一點欸。」
接著，他又畫了一個三角形，做了一樣的事情。
「這三條線段還是交在一點欸。」
第三次，他小心翼翼的又畫了一個不一樣的三角形。
「這三條線段真的交在一點欸，太酷了吧。」
興奮的他把這個結果告訴了他的皮皮朋友們，神奇的是這並不是巧合，而這三個線段共點的事情也因此傳開了…
三角形是競賽幾何中最基本也最常見的物件了，因此三角形的心就自然是一個我們會關注的問題。相信大家都聽過最基本的五心——內心、重心、外心、垂心等等，等等你說怎麼只有四個？其實是因為我們常常聽到的旁心並不是心。如果學得多一點的話，也許你聽過九點圓圓心。那麼到底什麼是三角形的心呢？其實如果要嚴格地定義三角形的心，我們必須使用三線坐標或重心坐標等平面上的坐標系。簡單來說就是該點到三邊圍成的三個三角形面積比或到三邊的距離比必須為關於三邊長的對稱函數。也就是說，這個心必須很「對稱」，那之所以旁心不是心就是因為他不太對稱。
從1994年開始，數學家 Kimberling 把這樣的點收錄在網站——三角形中心的百科全書 (Encyclopedia of Triangle Centers; ETC)，並且賦予每個心一個編號 \(X_{n}\)，我們常見的內心、重心、外心、垂心就分別是 \(X_{1}\), \(X_{2}\), \(X_{3}\), \(X_{4}\)。我們如果把關於三邊對稱的點通通收錄進來的話，這個百科全書可能就爆炸了，所以我們通常只收錄那些我們所關注的點（真的嗎）。截至目前為止，一共有 41998 個心被收錄其中。
最後，我們來科普一些有趣的心。在一個三角形 ABC 中，我們可以證明其重心、外心、垂心，三點共線，這條線被稱為三角形 ABC 的歐拉線。歐拉線是三角形中非常重要的一條線，有非常多心都長在他上面。舉例來說： \(X_{5}\) 就是 \(X_{3}\), \(X_{4}\) 的中點，而 \(X_{20}\) 是 \(X_{4}\) 對 \(X_{3}\) 的對稱點。那有沒有構造比較不直接但在歐拉線上的點呢？我們來看看下面這個問題，我們考慮三角形 \(\triangle ABC\) 的內心 \(I\)，也就是 \(X_{1}\)。那麼有件不是那麼顯然的事實是，三角形 \(\triangle BIC\) , 三角形 \(\triangle CIA\), 三角形 \(\triangle AIB\) 的三條歐拉線共點，且該點也在三角形 \(\triangle ABC\) 的歐拉線上。這個點稱為西弗點 (Schiffler point)，編號為 \(X_{21}\)。
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